– di Roberto Vacca

Se ragioni bene, puoi capire i paradossi matematici e anche spiegarli. Li individua, però, anche un sistema operativo di computer. Se in un programma calcoli una funzione e inserisci fra i suoi argomenti la funzione stessa senza imporre che ne venga utilizzato un valore precedente, il sistema si blocca e ti avvisa: “Attenzione: dipendenza circolare”.

I paradossi – asserzioni che da premesse accettabili con ragionamenti apparentemente logici portano a conclusioni contraddittorie o assurde, hanno una lunga storia . Il più antico pare sia di 26 secoli fa: “Il cretese Epimenide asserisce che i cretesi mentono sempre. Se ha mentito, è vero il contrario: non mentono sempre. Se non mente, almeno nel suo caso, l’asserzione è falsa.” Il paradosso di Zenone (2 secoli dopo) che il veloce Achille non raggiungerà mai la tartaruga alla quale abbia dato un vantaggio iniziale, è troppo noto per riportarlo qui.

Nel 1902 Bertrand Russell pubblicò il suo famoso paradosso:

“Chiamiamo R l’insieme di tutti gli insiemi che non sono membri di se stessi e che definiamo “normali”. Se R non è membro di se stesso, questa sua proprietà lo classifica fra gli insiemi che sono membri di R – dunque è membro di se stesso. Se è membro di se stesso, non lo è.”

Russell, per evitare questa contraddizione, formulò una teoria dei tipi: non ha senso considerare insiemi che siano membri di se stessi. In modo analogo l’algebra non ammette la divisione per zero; già alle medie ti avranno mostrato come, dividendo per zero, si dimostra che 2 = 1. (*) Su questi argomenti sono state scritte molte pagine, spesso di ardua lettura.

Russell cercò di rendere più comprensibile il suo paradosso suggerendone un altro:

“In un’isola c’è un solo barbiere che fa la barba a tutti quelli che non si fanno la barba da se – e soltanto a loro. Se lui non si rade la barba da se, se la rade. Se non se la fa, se la fa.”

Nel 1908 K. Grelling e L. Nelson chiamarono “autologici” gli aggettivi che descrivono se stessi [ad esempio “corto” e “polisillabico”]. Chiamarono “eterologici” gli aggettivi che non descrivono se stessi [come “lungo” e “monosillabico”]. Se l’aggettivo “eterologico” non descrive se stesso, è eterologico e, quindi, descrive se stesso – quindi è autologico.

Nel 1924 Stefan Banach e Alfred Tarski hanno ideato paradossi in 3 dimensioni geometriche, mostrando, ad esempio, come si possa suddividere una sfera in un certo numero di parti e come esse possano essere ricomposte per costruire due sfere identiche a quella originale [assurdo – no?].

Il ragionamento è complicato: è descritto bene in “Paradosso di Banach-Tarski” in Wikipedia. È illustrato a lungo con buone animazioni in “The Banach-Tarski Paradox” su YouTube.

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(*) a = b ; a² = ab ; a² – b² = ab – b² ; (a + b) (a – b) = b (a – b); a + b = b;

b + b = b ; 2b = b ; 2 = 1. Non si può dividere per (a – b) che è uguale a zero.