_del Prof. GIOVANNI VACCA

ROMA   –  TIPOGRAFIA DELLA R. ACCADEMIA DEI LINCEI

1904

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Haec omnia explicanda essent distinctius atque

exemplis illustranda … sed ea res nec huius

est ]oci, nec temporis nostri.

LEIBNIZ, ed. Gehr. Math. Schr. t.5, p.269

1. I cinesi hanno avuto per i primi, parecchie migliaia d’anni or sono, l’idea di una numerazione in base due.

A FU-HI, il semistorico fondatore della civiltà, cinese, si attribuiscono i segni divinatori detti   KoÃà, tuttora adoperati in Cina dagli indovini.

Questi segni non sono altro che i primi 64 numeri della serie naturale, scritti in base due, essendo in essi l’unità  rappresentata da un tratto continuo, lo zero, da un tratto spezzato in due parti. I primi otto simboli sono quindi:

Questi simboli sono adoperati in modo poco chiaro nel celebre I KING, il libro delle variazioni, che è il più antico libro pervenuto sino a noi dalle passate generazioni. Dai molteplici commenti cinesi ed europei sembra però risultare che esso è semplicemente una classificazione binaria delle idee, fatta con criteri a noi non noti. (G. PEANO, Atti dell’Accad. d. Sc. di Torino, 13 nov. 1898, t. 34)

2. Dobbiamo ora fare un salto di molti secoli per giungere fino a Luca Paciuolo, i1 quale nella sua celebro Summa de aritmetica, ecc., 1494, f.97 v., propone e risolve il problema di formare tutti i pesi interi entro dati limiti, col minimo numero di pesi campioni addittivi. Egli trova che i pesi campioni debbono formare una progressione geometrica di ragione. Cosi ad esempio con cinque pesi campione di  1, 2, 4, 8, 16 libbre rispettivamente si formano tutti i pesi di libbre intere da 1 a 31.

Egli risolve altresì il problema quando i pesi non siano solo addittivi, ma anche sottrattivi, quando cioè si disponga di una bilancia a due piatti.

In tal caso la progressione più conveniente è la ternaria. Così ad es. coi 4 pesi di 1, 3, 9, 27 libbre si possono pesare tutte le libbre intere da 1 a 40 (fol. 97 recto).

Nicolò Tartaglia nel suo General Trattato del 1556  e molto più tardi BACHET DE MEZIRIAC nelle sue Récréations Mathématiques, riprodussero gli stessi problemi senza nulla aggiungervi e senza citarne la fonte.

Il sistema di pesi e di misure basato sul sistema di numerazione binaria è effettivamente più comodo del sistema decimale.  Tra le ragioni che  rendono gli Inglesi riluttanti ad adottare il sistema metrico decimale, vi è, forse inconscia, anche questa  che molte delle unità  campioni del loro complesso sistema si seguono in progressione geometrica con ragione 2- Cosi essi hanno in oro od argento le monete  da 1, ½ , ¼ , 1/8 di lira sterlina, ed in rame quelle di 1, ½, ¼ di penny.

Nelle misure dei liquidi essi hanno le misure di 1/32,  1/8, ¼  di gallone e quelle di 1, 2, 8, 64 galloni.

3. La prima esposizione sistematica della numerazione binaria e dei considerevoli vantaggi che essa ha nei calcoli, appartiene a Nepero. L’inventore dei logaritmi, dopo aver costruito le tavolo di logaritmi  ora entrate  nell’uso comune, dopo aver studiato degli interessanti e complessi metodi meccanici per effettuare le moltiplicazioni, riducendole ad addizioni (di cui, i  comunemente conosciuti  bastoni di Nepero sono soltanto la forma più rudimentale) tentò una terza via a cui diede il nome di aritmetica locale, e che non è altro che la numerazione binaria.’

Le cifre in questo sistema sono due sole, 0, 1. Se si aggiunge uno zero alla destra di un numero scritto in questo sistema,  il numero stesso si raddoppia. Ogni numero intero è rappresentato da una espressione della  forma    a_o 2^m + a₁ 2^m-1 + … a_m-1 2 + a_m    dove  m  è un intero positivo, ed i coefficienti  a_o , ….  a_m sono 0 ed 1.

Le  tavole d’addizione e di  moltiplicazione spariscono.  Si riducono cioè alle relazioni 1+1=10,   1+0=1 , 1×0=0,  1×1=1 .

Le divisioni si fanno senza tentativi,  le estrazioni di radici si semplificano pure.

Calcolare diventa un giuoco, quando si rappresentino i numeri  con gettoni o palline poste sopra una scacchiera indefinita. Per addizionate, sottrarre, moltiplicare, dividere, estrarre radici, basta spostare in modo conveniente con poche regole, più semplici di quelle della dama, le pedine sulla scacchiera.  Il sollievo mentale che si prova  nell’eseguire in questo modo  le operazioni, anche dopo un breve esercizio, è evidente.

Ma non è dato a noi sostituire questo sistema al decimale ora in uso.  Conviene dunque passare dal sistema decimale al binario per eseguire i calcoli  e dal binario al decimale dopo averli eseguiti. Ciò si fa con la massima semplicità per mezzo di tabelle proposte da Nepero od anche con metodi indicati successivamente da Eulero e da Legendre.

La Rabdologia di  Nepero, in cui questa scoperta è esposta, fu pubblicata in latino per la prima volta nel 1617  e ristampata nel 1626 e nel 1628.  Fu tradotta nel 1623 in italiano da Marco Locatello in Verona, ebbe tre edizioni in olandese di cui una dovuta ad Adriano Vlacq, 4 in tedesco e 2 in inglese. Sono tutte diligentemente descritte nel catalogo compilato con somma cura  da W. R, Macdonald, Edimburgo. 1889.

4, FRANCESCO BACONE nel suo libro De dignitate et augmentis scientiarum .lib. VI, Cap,1,,   ubblicato per la rima volta nel 1623 dice di aver scoperto nella sua gioventù soggiornando a Parigi (probabilmente negli anni 1577-1579)  una rappresentazione dell’alfabeto per mezzo dei 32 primi numeri scritti in base 2, che egli formò servendosi di due lettere  a, b  indicanti l’una lo zero, l’altra l’unità.  Egli vide altresì che il suo sistema che chiamò BILITTERALE,forniva un modo (pressoché identico a quello adoperato nella parte trasmittente del telegrafo Baudot) “coll’aiuto del quale a ogni distanza con oggetti sensibili alla vista o all’udito  si potrebbero esprimere i propri pensieri, purchè questi oggetti fossero suscettibili  di due sole differenze  come le campane, le trombe, i fuochi, i colpi di cannone”. E noi possiamo aggiungere tutti i sistemi di telegrafia. Bacone dimostrò infine che il suo sistema si prestava bene alla criptografia.

5. LEIBNIZ fu il primo  a divulgare l’aritmetica binaria e a cercare di perfezionarla, tanto che oggi è abitualmente creduto il suo inventore.

Egli spiegò  pure per il primo i simboli di Fu-hi e mostrò  che molte proprietà  dei numeri appaiono più semplici quando siano scritti in base 2, in qua genesi numerorum, quae maxime naturae convenit , multa latent mira ad  meditationem, imo et ad praxim,  etsi non pro usu vulgari, (ed.  Gehr. Math. Schr. t. 7 p. 329). Tuttavia nemmeno i suoi sforzi furono sufficienti a destare I’attenzione dei suoi contemporanei.

6. In questo secolo una esposizione della Aritmetica binaria è stata fatta da Edouard Lucas nel primo volume delle sue Récréations mathématiques (2^a ediz., 1891).

Egli dimostrò, applicando la numerazione binaria, che 2⁶¹-1   è un numero primo, e che invece 2⁶⁷-1 è composto, contrariamente a quanto aveva asserito Mersenne: fece vedere come lo stesso metodo fosse applicabile alla ricerca di numeri primi molto grandi; ed infine previde che le macchine per calcolare in base 2 devono essere molto più semplici di quelle in base 10 ora in uso. Queste macchine finora non sono state costruite, sebbene tra i vantaggi che esse mi sembrano dover possedere vi sia altresì quello di poterle costruire di qualsivoglia dimensione, senza eccessive difficoltà, in modo da poter ottenere perfino i prodotti di due numeri di 1000 cifre ciascuno, ciò  che, per ragioni meccaniche, non può assolutamente farsi colle attuali macchine da calcolare.

7. Le obiezioni che iI Lucas muoveva alla numerazione binaria erano soltanto due. La prima è che i numeri in questo sistema esigono un maggior numero di cifre che non nel sistema decimale (circa il triplo). Si osservi però che tale allungamento è solo apparente, poichè le cifre in base 2 sono notevolmente più semplici che non quelle in base 10, e si possono ridurre a piccolissime dimensioni rappresentando l’unità  col segno (:), 1o zero col punto (.). E’ anzi probabile che 1o sforzo mentale necessario a distinguere e ricordare i numeri scritti in base 2, sia minore di quello che occorre per i numeri scritti in base 10.

La seconda è che manca per i numeri in base 2, un sistema razionale e rapido di lettura. A questa seconda obiezione ha risposto il prof. Peano nella sua Nota sopra citata, nel 1898. Egli ha dimostrato anzi, che vi è per il sistema binario, un sistema di lettura che permette di leggere le cifre ad 8 per volta, con una sola sillaba. Quindi ogni numero minore di 2¹⁶ ossia di 65536, si legge con due sole sillabe.

Basta perciò dare

ai numeri    :…….   .:……  ::……    ..:…..     :.:…..                .::…..              :::…..

I  valori           f          b          p          d                t                   g                       k

ed ai numeri …:….     ….:…    …..:..    …….:.              …….:               ……::

i  valori               i          a           u           l                     n                     s

e leggere la loro sovrapposizione colla sillaba che ne risulta, convenendo di pronunciare “e” quando manchi la vocale.

Così ad esempio

i gruppi                      ::….::               :…:.::               …..:::   .::.:r::                          :.:…:.

si leggeranno             pes (=195)   fas (=139)           us    gaus (=1903)            tet (=162)

Il prof. Peano ha altresì trovato che questa rappresentazione è invertibile, che cioè con qualche lieve modificazione, ogni sillaba può essere rappresentata da un gruppo di otto cifre binarie. Questa osservazione potrà  semplificare notevolmente le macchine per stenografare.

Si può ancora aggiungere che i regoli logaritmici, e le tavole di logaritmi in base 2, pur conservando la stessa precisione delle decimali, si possono ridurre ad un quinto di queste ultime. Per avere ad esempio i logaritmi dei numeri a meno di 2^-16 (approssimazione corrispondente a circa 5 decimali esatte) basta interpolare i logaritmi dei 128 numeri interi determinati con 16 cifre binarie esatte, compresi fra 2⁷  e 2⁸. Si hanno 24 cifre binarie esatte (presso a poco 7 decimali  esatte), interpolando i logaritmi dei 2048 numeri interi compresi tra

2¹¹  e 2¹², ecc.

8. Le ricerche storiche hanno un interesse maggiore quando possono guidare, od almeno far prevedere, il senso dello svolgersi della scienza. Io mi sono permesso oggi di intrattenervi, forse troppo a lungo, su questo argomento, perchè penso che I’aritmetica binaria abbia un grande avvenire. Però la sua volgarizzazione esigerà ancora molto tempo. credo che si possa dire oggi di essa quello che STEVINO diceva della sua Disme (Oeuvres, Leyde, 1634, publiées par Alb. Girard, p.213):

“Mais si tout cecy ne fust pas mis en oeuvre, si tost comme  nous le pourrions souhaiter, il nous contentera premièrement, qu’il fera du bien à nos successeurs, car il est ceriain, que si les hommes  futurs, sont de telle nature comme ont esté les precedents, qu’ils ne  seront pas toujours negligens en leur si grand avantage”.